1ºcolegial-C-D-Celso Abbad Mourão-Aula conjuntos Numéricos-
não pertence ao conjunto dos números irracionais (
)
não pertence ao conjunto dos números racionais (
), inteiros (
) e naturais (
)
Definição de Conjuntos Numéricos
Ao agrupamento de elementos com
características semelhantes damos o nome de conjunto. Quando estes
elementos são números, tais conjuntos são denominados conjuntos numéricos.
Neste tópico estudaremos os cinco conjuntos numéricos fundamentais, que são os conjuntos numéricos mais
amplamente utilizados.
Conjunto dos Números Naturais
Em algum momento da sua vida você
passou a se interessar por contagens e quantidades. Talvez a primeira ocorrência
desta necessidade, tenha sido quando lá pelos seus dois ou três anos de idade
algum coleguinha foi lhe visitar e começou a mexer em seus brinquedos.
Provavelmente, neste momento mesmo sem saber, você começou a se utilizar dos
números naturais, afinal de contas era necessário garantir que nenhum dos seus
brinquedos mudasse de proprietário e mesmo desconhecendo a existência dos
números, você já sentia a necessidade de um sistema de numeração.
Em uma situação como esta você
precisa do mais básico dos conjuntos numéricos, que é o conjunto dos números
naturais. Com a utilização deste conjunto você pode enumerar brinquedos ou
simplesmente registrar a sua quantidade, por exemplo.
Este conjunto é representado pela
letra N (
). Abaixo temos uma representação do
conjunto dos números naturais:
As chaves são utilizadas na representação para dar ideia de conjunto. Os pontos de
reticência dão a ideia de infinidade, já que os conjuntos numéricos são
infinitos.
Este conjunto numérico inicia-se em
zero e é infinito, no entanto podemos ter a representação de apenas um
subconjunto dele. A seguir temos um subconjunto do conjunto dos números
naturais formado pelos quatro primeiro múltiplos de sete:
Para representarmos o conjunto dos
números naturais, ou qualquer um dos outros quatro conjuntos fundamentais,
utilizamos o caractere asterisco após a letra, como em
. Temos então que:
Conjunto dos Números Inteiros
Mais adiante na sua vida em uma noite
muito fria você tomou conhecimento da existência de números negativos, ao lhe
falarem que naquele dia a temperatura estava em dois graus abaixo de zero.
Curioso você quis saber o que significava isto, então alguém notando o seu
interesse, resolveu lhe explicar:
Hoje no final da tarde já estava
bastante frio, a temperatura girava em torno dos 3° C, aí ela desceu para
2° C, continuou esfriando e ela abaixou para 1° C e uma hora atrás
chegou a 0° C. Se a temperatura continuava a abaixar e já havia atingido o
menor dos números naturais, como então representar uma temperatura ainda mais
baixa?
Com exceção do zero, cada um dos
números naturais possui um simétrico ou oposto. O oposto do 1 é o -1, do 2 o -2
e assim por diante. O Sinal "-" indica que se trata de um número
negativo, portanto menor que zero. Os números naturais a partir do 1 são por
natureza positivos e o zero é nulo.
O zero e os demais números naturais,
juntamente com os seus opostos formam um outro conjunto, o conjunto dos números
inteiros e é representando pela letra Z (
).
A seguir temos uma representação do
conjunto dos números inteiros:
Note que diferentemente dos números
naturais, que embora infinitos possuem um número inicial, o zero, os números
inteiros assim como os demais conjuntos numéricos fundamentais não têm, por
assim dizer, um ponto de início. Neste conjunto o zero é um elemento central,
pois para cada número à sua direita, há um respectivo oposto à sua esquerda.
Utilizamos o símbolo
para indicar que um conjunto está
contido em outro, ou que é um subconjunto seu, como o conjunto dos números
naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros, temos que
.
Podemos também dizer que o conjunto
dos números inteiros contém (
) o conjunto dos números naturais
(
).
Como supracitado podemos escrever
para representarmos o conjunto dos
números inteiros, mas sem considerarmos o zero:
Com exceção do conjunto dos números
naturais, com os demais conjuntos numéricos fundamentais podemos utilizar os
caracteres "+" e "-" como abaixo:
Note também que
e que
.
Conjunto dos Números Racionais
Esperto por natureza você percebeu
que havia mais alguma coisa além disto. No termômetro você viu que entre um
número e outro existiam várias marcações. Qual a razão disto?
Foi-lhe explicado então que a
temperatura não muda abruptamente de 20° C para 21° C ou de
-3° C para -4° C, ao invés disto, neste termômetro as marcações são
de décimos em décimos. Para passar de 20° C para 21° C, por exemplo,
primeiro a temperatura sobe para 20,1° C, depois para 20,2° C e
continua assim passando por 20,9° C e finalmente chegando em 21° C.
Estes são números pertencentes ao conjunto dos números racionais.
Números racionais são todos aqueles
que podem ser expressos na forma de fração. O numerador e o denominador desta
fração devem pertencer ao conjunto dos números inteiros e obviamente o
denominador não poderá ser igual a zero, pois não há divisão por zero.
O número 20,1 por exemplo, pode ser expresso como
, assim como 0,375 pode ser expresso como
e 0,2 por ser representado por
.
Note que se dividirmos quatro por
nove, iremos obter 0,44444... que é um número com infinitas casas decimais, todas elas iguais a
quatro. Trata-se de uma dízima periódica simples que também pode ser
representada como
, mas que apesar disto também é um número racional, pois pode ser
expresso como
.
O conjunto dos número racionais é
representado pela letra Q (
).
O conjunto dos números inteiros é um
subconjunto do conjunto dos números racionais, temos então que
.
Facilmente podemos intuir que
representa o conjunto dos números
racionais negativos e que
representa o conjunto dos números
racionais positivos ou nulo.
Abaixo temos um conjunto com quatro
elementos que é subconjunto do conjunto dos números racionais:
A realização de qualquer uma das
quatro operações aritméticas entre dois números racionais quaisquer terá como
resultado também um número racional, obviamente no caso da divisão, o divisor
deve ser diferente de zero. Sejama e b números racionais, temos:
Conjunto dos Números Irracionais
Então mais curioso ainda você
perguntou: "Se os números racionais são todos aqueles que podem ser
expressos na forma de fração, então existem aqueles que não podem ser expressos
desta forma?"
Exatamente, estes números pertencem
ao conjunto dos números irracionais. Provavelmente os mais conhecidos deles
sejam o número PI (
), o número de Euler (
) e a raiz quadrada de dois (
). Se você se dispuser a calcular tal
raiz, passará o restante da sua existência e jamais conseguirá fazê-lo, isto
porque tal número possui infinitas casas decimais e diferentemente das dízimas,
elas não são periódicas, não podendo ser expressas na forma de uma fração. Esta
é uma característica dos números irracionais.
A raiz quadrada dos números naturais
é uma ótima fonte de números irracionais, de fato a raiz quadrada de qualquer
número natural que não seja um quadrado perfeito é um número irracional.
é um número irracional, pois 120 não é um quadrado perfeito, ou seja,
não há um número natural que multiplicado por ele mesmo resulte em cento e
vinte, já
é um número natural, pois
.
A letra I (
) representa o conjunto dos número
irracionais.
Utilizando o caractere especial
"*", por exemplo, podemos representar o conjunto dos números irracionais
desconsiderando-se o zero por
.
O conjunto abaixo é um subconjunto do
conjunto dos números irracionais:
Diferentemente do que acontece com os
números racionais, a realização de qualquer uma das quatro operações
aritméticas entre dois números irracionais quaisquer não terá obrigatoriamente
como resultado também um número irracional. O resultado poderá tanto pertencer
a
, quanto pertencer a
.
Conjunto dos Números Reais
Acima vimos que um número natural
também é um número inteiro (
), assim como um número inteiro
também é um número racional (
), portanto
.
Vimos também que os números racionais
não estão contidos no conjunto dos números irracionais e vice-versa. A
intersecção destes conjuntos resulta no conjunto vazio:
A intersecção é uma operação por meio
da qual obtemos um conjunto de todos os elementos que pertencem simultaneamente
a todos os conjuntos envolvidos. Sejam dois conjuntos
e
, a intersecção entre estes dois conjuntos será
.
O conjunto dos números reais é
representado pela letra R (
) e é formado pela união do conjunto
dos números racionais com o conjunto dos irracionais, que simbólicamente
representamos por:
.
A união é uma operação por meio da
qual obtemos um conjunto de todos os elementos que pertencem ao menos a um dos
conjuntos envolvidos. Sejam dois conjuntos
e
, a união entre estes dois conjuntos será
.
O conjunto dos números racionais está
contido no conjunto dos números reais (
), assim como o conjunto dos números
irracionais também é subconjunto do conjunto dos números reais (
).
Através dos caracteres especiais
"+" e "*", por exemplo, podemos representar o conjunto dos
números reais positivos por
.
Abaixo temos um exemplo de conjunto
contendo número reais:
Conjuntos Numéricos Fundamentais em Diagrama
Abaixo temos a representação dos
conjuntos numéricos fundamentais em um diagrama.
Através deste diagrama podemos
facilmente observar que o conjunto dos números reais (
) é resultado da união do conjunto
dos números racionais como o conjunto dos números irracionais (
). Observamos também que o conjunto
dos números inteiros está contido no conjunto dos números racionais (
) e que os números naturais são um
subconjunto do números inteiros (
).
Como podemos ver, os diagramas nos
ajudam a trabalhar mais facilmente com conjuntos. Ainda neste diagrama
rapidamente identificamos que os números naturais são também números reais (
), mas não são números irracionais
(
), isto porque o conjunto dos números
irracionais não contém o conjunto dos números naturais (
), mas sim o conjunto números dos
racionais que os contém (
), assim como o conjuntos dos números
reais (
) e dos inteiros (
).
Exercícios
1) A quais conjuntos numéricos fundamentais não pertence o número
?
1) A quais conjuntos numéricos fundamentais não pertence o número
não pertence ao conjunto dos números irracionais ( não pertence ao conjunto dos números racionais (
Não existe raiz quadrada de número primo que não seja
irracional.
Podemos afirmar com certeza que
e
.
A
intersecção entre os conjuntos A e B não possui infinitos elementos
|
6) Se r é um número racional e m um
número irracional, podemos afirmar que:
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a)
|
r.m é um número racional
- Falso (
|
|
b)
|
r.m é um número irracional - Falso (
|
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c)
|
r + m é um número irracional - Verdadeiro
(
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d)
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(r + 1)m é um número racional - Falso (
|
|
e)
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m2 é um número racional - Falso (
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